Из кубанских казаков-черноморцев (потомков украиноязычных запорожских казаков). Окончил юридический факультет Московского университета, работал в частной компании на Кавказе. В 1912 г. избран на пост бакинского городского головы. После Февральской революции 1917 г. назначен Временным правительством на пост начальника снабжения Кавказской армии. После развала фронта и дезертирства полков вернулся на Кубань.

В октябре 1917 г. Кубанская краевая рада выделила из своей среды постоянно действующую Кубанскую законодательную раду, избравшую в начале ноября Кубанское краевое правительство. Под председательством Л. Л. Быча это правительство взяло на себя полномочия верховной государственной власти на Кубани, отказалось признать советское правительство в Петрограде и начало организацию казачьих отрядов.

В начале 1918 г. на землях бывшей Кубанской области провозглашена независимая Кубанская Народная Республика. Вскоре она проиграла в противостоянии с Кубанским областным советом.

Вместе с покинувшими Екатеринодар правительственными учреждениями республики Быч участвовал в Первом Кубанском походе под началом Добровольческой армии (весна 1918). После занятия Добровольческой армией в августе 1918 г. Екатеринодара в город вернулись и органы власти Кубанской Народной Республики. При поддержке кубанского казачества они активизировали свою деятельность, стремясь избавиться от фактического подчинения командованию А. И. Деникина. Быч отстаивал широкое самоуправление Кубани, что и привело к его отставке в конце 1918 г.

В начале 1919 г. глава делегации Кубанской республики на Версальской (Парижской) мирной конференции. После занятия Кубани РККА в 1920 г. остался в эмиграции. С 1922 г. жил в Чехословакии. Преподавал муниципальное право в Украинской сельскохозяйственной академии (г. Подебрады).